ทฤษฎีจำนวน 

ทฤษฎีจำนวนเต็มเป็นสาขาวิชาหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับจำนวนเต็ม และสมบัติต่างของจำนวนเต็มและเป็นพื้นฐานที่สำัคัญสำหรับการศึกษาต่อในระดับสูง สำหรับเนื้อหาในบทนี้ประกอบด้วย การหารลงตัว ขั้นตอนวิธีการหาร ตัวหารร่วมมาก และตัวคูณร่วมน้อย 

การหารลงตัว (Exact Division)

นิยาม 

ให้ a ,b และ c เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a≠0
a หาร b ลงตังก็ต่อเมื่อ  a(k)  = b
a เรียกว่าเป็นตัวหารของ b  (หรือตัวประกอบของ b)
b เรียกว่าตัวตั้ง (หรือพหุคูณของ  a)a†b

ข้อตกลง  ใช้สัญญาลักษณ์

a|b  แทนหารลงตัว

a†b แทนหารไม่ลงตัว

ตัวอย่างเช่น
3|12    เพราะ     12 = 3 x 4
-5|15    เพราะ    15 = (-5)(-3) 
จากการสังเกตตัวอย่างเช่น 
1. 11|66   และ  66 |198  จะไดว่า 11|189
2. 15|27   และ  75 |450  จะได้ว่า 15|450   
3. 21|126 และ 126|882   จะได้ว่า21|882      

ตัวอย่างดังกล่าวเป็นตัวอย่างของทฤษฎบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1  ให้ a,bและc เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a ไม่เท่ากับ 0 และ b ไม่เท่ากับ 0 ถ้า a|b และ b|c  แล้ว a|c 

พิสูจน์

สมมติ  a|b และ b|c

จะมีจำนวนเต็ม  x ที่ทำให้ b = ax         

และมีจำนวนเต็ม y ที่ทำห้ c =by 

ดังนั้น    c= (ax) y      

             c=a (xy) และ xy เป็นจำนวนเต็ม
ทฤษฎีที่ 2  กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก  ถ้า a|b แล้วจะได้ a ≤ b
พิสูจน์   
สมมติ a|b   
จะมีจำนวนเต็ม  x ที่ทำให้ b = ax                                    
เนื้องจาก a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกจะได้ x เป็นจำนวนเต็มบวก                                
ดังนั้น    x ≥ 1    จะได้   ax ≥ a (เพราะ a เป็นจำนวนเต็มบวก)                                      
ดังนั้น    b ≥ a
ตัวอย่างเช่น
5|100   จะเห็นว่า    5≤100
12|12     จะเห็นว่า 12=12
ทฤษฎีที่ 3  กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
พิสูจน์    
สมมติ a|b และ a|c
จะมีจำนวนเต็ม d ที่ทำให้ b = ad
และมจำนวนเต็ม e ที่ทำให้ c = ae
 ดังนั้น ax+cy = (ad)x+(ae)y   เมื่อ x และ y เป็นจำนวน
                     =  a(dx+ey) 
เนื้องจาก dx+ey เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ a|(bx+cy)


*นิพจน์ในรูป bx+cy เรียกว่าผลรวมเชิงเส้น ของ bและ c

จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)

บทนิยาม

จำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

ตัวอย่างจำนวนเฉพาะ เช่น 2, 3, 5,7,11,13,17,19 เป็นต้น

ขั้นตอนวิธีการหาร (Division Algorithm)

ทฤษฎีบทที่ 5 ก็ขั้นตอนวิธีการหาร ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b≠0แล้วจะมีจำนวนเต็ม q และ r ชุดเดียว

a = bq+ r  โดย 0 ≤ 0≤   | b|      

ก็ขั้นเรียก qว่าผลหาร(quotient)และrว่าเศษเหลือ(remqinder)      

ตัวอย่างเช่น

กำหนด a=48, b=7 จงหาq และ r

ก็เขีบยให้อยู่ในรูป a=bq + r

                  48= × 6+6

              ∴  r=6 และ q=6  

บทนิยาม จำนวนเต็มaเป็นจำนวนเต็มคู่ ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็ม k ที่ a=2k จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม k ที่ k=2k+1
ทฤษฎีทบที่ 6  ให้ b เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จำนวนเต็มบวก n ใดๆสามารถเขียนในการกระจายฐาน b ได้เป็น    n = c_ab^a + c_a-1+...+c₁b+c₀
เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม และ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า b และ c_a ≠ 0
รูปตัวอย่างเช่นจงเขียน25ในรูปฐาน2
25=2(12)+1
12=2(6)+0
6=2(3)+0
3=2(1)+1
1=2(0)+1
ดังนั้น 25=(1101)₂


ตัวหารร่วมมาก (The Greatest Common Divisor)
บทนิยาม กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็ม เรียกจำนวนเต็ม c ที่สามารถหารทั้ง a และ b ลงตัวว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก a และ b
ตัวอย่างเช่น
ตัวหารร่วมมากของ 4 และ 8 ได้แก่ ±1,±2,±4
ตัวหารร่วมมากของ 8 และ 12 ได้แก่ ±1,±2,±4
บทนิยาม ให้aและbไม่เป็นศูนย์พร้อมกันจำนวนเต็มบวก d มากที่สุด ซึ่ง d|a ที่มากที่สุด ซึ่ง d|a และ d|b เรียกว่าตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของa และ b ใช้สัญญาลักษณ์ (a,b)แทน ห.ร.ม. ของ a และ b
ตัวอย่างเช่น
วิธีที่ 1 วิธีตัวหารร่วม
ตัวหารที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 1,2,3,4,6,9,12,18,36
ตัวหารที่เป็นบวกของ 48 ได้แก่ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
ตัวหารที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1,2,3,4,6,12
ตัวหารที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มากที่สุด 12
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
วิธีที่ 2 วิธีการแยกตัวประกอบ 
36 = 2×2 ×3 ×3
48 = 2×2×2×2×3
ดังนั้น ห.ร.ม.ของ 36 และ 48 คือ 2×2×3=12


การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิค
ทฤษฎีบทที่ 7 ขั้นตอนวิธีของยุคลิด

บทนิยาม  ให้้ a_1,a_2,...a_n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

กำเรียกตัวบวก D ที่มากที่สุด ซึ่ง D|a₁,D|a₂,...,D|a_n 

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ a_1,a_2,...,a_n

ใช้สัญญาลักษณ์(a_1,a_2,...,a_n) แทน ห.ร.ม. ของ a_1,a_2,...,a_n

ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 15,21 และ 35

จากบทนิยาม จะได้ว่า (15,21,35)=(15,(21,35))=(15,7)=1

หรือ (15,21,35)=(15,(21,35))=(3,35)=1

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (relatively prime numbers)

บทนิยาม จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1

ตัวอย่างเช่น 

5 และ 8 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เพราะ (5,8)=1

4 และ 13 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะ (4,13)=1

ทฤษฎีบทที่ 8 a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้ ax+by = 1

พิสูจน์ ตอนที่ 1 ถ้า(a,b) = 1 แล้ว จะมีจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้ ax+dy=1

จาก (a,b)=1

จะได้ ax+by = 1  เมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็ม

พิสูจน์ ตอนที่ 2 สมมติจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้ ax+by=1 และให้(a,b)=d

จะได้ d|a และ d|b

ดังนั้น d|(ax+by) นั้นคือ d|1

เนื้องจาก d > 0 และ d|1 จะได้ d=1

ดังนั้น (a,b)=1

ทฤษฎีบทที่ 9 กำหนดจำนวนเต็ม a,b และจำนวนเฉพาะ p ถ้า p|ab จะได้ p|a หรือ p|b

พิสูจน์ p†ab และ p เป็นจำนวนเฉพาะ แสดงว่า(p,a)=1

ดังนั้น 1=px+ay เมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็ม

          b=bpx+(ab)y ------------(1)

พิจารณาสมการ (1) จะได้ว่า p|b เพราะ p|p และ p|ab

ตัวคูณร่วมน้อย (The Least Common Multiple)

บทนิยาม กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ 

เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c 

ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b 

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]

ตัวอย่างเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24|

|พหุคูณที่เป็นบวกของ36ได้แก่36,72,108,144, ...

|พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...

ดั้งนั้น พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...

พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 และ 24ที่มีค่าน้อยที่สุดคือ 72

นั้นคือ ค.ร.น.ของ 36 และ 72 คือ 72

บทนิยาม ให้  a_1,a_2,...a_n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นศูนย์

จำนวนเต็มบวก C ที่น้อยที่สุด ซึ่ง C|a₁,C|a₂,...,C|a_n    

ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ a_1,a_2,...,a_n

ใช้สัญญาลักษณ์(a_1,a_2,...,a_n) แทน ค.ร.น. ของ a_1,a_2,...a_nท

ตัวอย่างเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 18, 36 และ 40

จากบทนิยาม จะได้ [18,36,40] = [18,[36,40]] = [18,360] = 360 

|หรือ  [18,36,40] = [[18,36],40] = [36,40] = 360

ทฤษฎีบทที่ 10 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว ab=(a,b)[a,b]

ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มบวก x และ 28 มี ห.ร.ม. เป็น 4 และ ค.ร.น. เป็น 140 จงหา x

จากทฤษฎีบท 10 จะได้ว่า   28x = 4(140)

ดังนั้น                                     x = 20

                   จัดทำโดย

นายปภาวิน  พลภักดี   เลขที่ 18  ม.4/2

นายมารวย แหลมสัก เลขที่ 20  ม.4/2

นายวรังกร พรรณโส เลขที่ 21  ม.4/2

นางสาวดวงฤทัย  พึ่งกุศล เลขที่  26   ม.4/2

นางสาวสุดารัตน์ ประทีป ณ ถลาง เลขที่ 29 ม.4/2

m.tokiya